О модельных двумерных течениях газа без давления: вариационное описание и численный алгоритм в рамках динамики прилипания

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Изучаются обобщенные решения системы уравнений газовой динамики без давления в случае двух пространственных измерений. Работа имеет теоретический характер и рассматривает указанную систему уравнений с точки зрения общей математической теории законов сохранения. Сделан акцент на важной отличительной особенности данной системы уравнений – возникновении сильных особенностей плотности вдоль многообразий разной размерности. Данное свойство характеризовано как возникновение иерархии особенностей. В более ранних работах прикладной направленности (например, А.Н. Крайко и др., в том числе, и для более сложных случаев трехмерных течений двухфазных сред) указанное свойство изучалось на физическом уровне строгости. В настоящей статье возникновение иерархии особенностей рассмотрено с математической точки зрения, поскольку строго обосновать, например, существование решения с сильной особенностью в точке (для двумерного случая) оказывается не так просто. Поэтому для формирования математических гипотез о поведении решения используется специальный численный алгоритм. С теоретической точки зрения рассмотрены подходы к построению вариационного принципа для обобщенных решений. С вычислительной точки зрения реализован алгоритм на основе варианта приближенной динамики прилипания в многомерном случае. Алгоритм верифицирован на ряде примеров (двумерная задача Римана) с точки зрения внутренней сходимости и сравнения с математическими результатами, в том числе, и других авторов. Библ. 30. Фиг. 8. Табл. 4.

Об авторах

Н. В. Клюшнев

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Email: n_klyushnev@mail.ru
Россия, 125047, Москва, Миусская пл., 4

Ю. Г. Рыков

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: n_klyushnev@mail.ru
Россия, 125047, Москва, Миусская пл., 4

Список литературы

  1. Крайко А.Н. О поверхностях разрыва в среде, лишенной собственного давления // Приклад. матем. и мех. 1979. Т. 43. № 3. С. 500–510.
  2. Крайко А.Н., Сулайманова С.М. Двужидкостные течения смеси газа и твердых частиц с “пеленами”и “шнурами”, возникающими при обтекании непроницаемых поверхностей // ПММ. 1983. Т. 47. № 4. С. 619–630.
  3. Крайко А.Н. Математические модели для описания течений газа и инородных частиц и нестационарной фильтрации жидкости и газа в пористых средах // Вестник ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование. 2014. Т. 7. № 1. С. 34–48.
  4. Гурбатов С.Н., Саичев А.И., Шандарин С.Ф. Крупномасштабная структура Вселенной. Приближение Зельдовича и модель слипания // Успехи физ. наук. 2012. Т. 182. № 3. С. 233–261.
  5. Bouchut F. On zero-pressure gas dynamics // in: B. Perthame (Ed.), Advances in Kinetic Theory and Computing, Ser. Adv. Math. Appl. Sci. Singapore.: World Sci. 1994. V. 22. P. 171–190.
  6. И В., Рыков Ю.Г., Синай Я.Г. Вариационный принцип Лакса-Олейник для некоторых одномерных систем квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50. № 1. С. 193–194.
  7. Grenier E. Existence globale pour la systeme des gaz sans pression // C.R. Acad. Sci. Ser. 1. Math. 1995. V. 321. № 2. P. 171–174.
  8. E W., Rykov Yu.G., Sinai Ya.G. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics // Comm. Math. Phys. 1996. V. 177 P. 349–380.
  9. Huang F., Wang Z. Well posedness for pressureless flow // Comm. Math. Phys. 2001. V. 222. № 1. P. 117–146.
  10. Li J. and Warnecke G. Generalized characteristics and the uniqueness of entropy solutions to zero-pressure gas dynamics // Adv. Differential Equations. 2003. V. 8. № 8. P. 961–1004.
  11. Hynd R. Sticky particle dynamics on the real line // Not. Am. Math. Soc. 2019. V. 66. № 2. P. 162–168.
  12. Hynd R. A trajectory map for the pressureless Euler equations // Transact. Am. Math. Soc. 2020. V. 373. № 10. P. 6777–6815.
  13. Li J., Zhang T., Yang S.L. The Two-Dimensional Riemann Problem in Gas Dynamics. London: Longman, 1998.
  14. Рыков Ю.Г. Особенности типа ударных волн в среде без давления, решения в смысле теории меры и в смысле Коломбо // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 1998. № 30. URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id_1998-30.
  15. Rykov Yu.G. On the nonhamiltonian character of shocks in 2-D pressureless gas // Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B. Ser. 8. 2002. V. 5-B. P. 55–78.
  16. Colombeau J.F. Elementary introduction to new generalized functions. North-Holland Math. Studies. V. 113, 1985.
  17. Pang Y. The Riemann problem for the two-dimensional zero-pressure Euler equations // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 472. № 2. P. 2034–2074.
  18. Li J., Yang H. Delta-shock waves as limits of vanishing viscosity for multidimensional zero-pressure gas dynamics // Quart. Appl. Math. 2001. V. LIX. P. 315–342.
  19. Шелкович В.М. Сингулярные решения систем законов сохранения типа δ и δ'-ударных волн и процессы переноса и концентрации // Успехи матем. наук. 2008. Т. 63. Вып. 3. С. 73–146.
  20. Albeverio S., Rozanova O.S., Shelkovich V.M. Transport and concentration processes in the multidimensional zero-pressure gas dynamics model with energy conservation law // https://arxiv.org /abs/1101.5815.
  21. Аптекарев А.И., Рыков Ю.Г. Вариационный принцип для многомерных законов сохранения и среды без давления // Успехи матем. наук. 2019. Т. 74. Вып. 6. С. 159–160.
  22. Khanin K., Sobolevski A. Particle dynamics inside shocks in Hamilton-Jacobi equations // Phil. Trans. Roy. Soc. A. 2010. V. 368. P. 1579–1593.
  23. Khanin K., Sobolevski A. On Dynamics of Lagrangian Trajectories for Hamilton–Jacobi Equations // Arch. Ration. Mech. Anal. 2016. V. 219. Iss. 2. P. 861–885.
  24. Аптекарев А.И., Рыков Ю.Г. Детализация механизма образования особенностей в системе уравнений газовой динамики без давления // Докл. РАН. 2019. Т. 484. № 6. С. 655–658.
  25. Рыков Ю.Г. Двумерная газовая динамика без давления и вариационный принцип // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2016. № 94. URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id 16-94.
  26. Chertock A., Kurganov A., Rykov Yu. A new sticky particle method for pressureless gas dynamics // SIAM J. N-umer. Anal. 2007. V. 45. №6. P. 2408–2441.
  27. Рыков Ю.Г. Решения с распадом вещества в системе уравнений газовой динамики без давления // М-атем. заметки. 2020. Т. 108. № 3. С. 477–480.
  28. Klyushnev N.V., Rykov Yu.G. Non-conventional and conventional solutions for one-dimensional pressureless gas // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42. № 11. P. 2615–2625.
  29. Bressan A., Nguyen T. Non-existence and non-uniqueness for multidimensional sticky particle systems // K-inetic and Relatet Model. 2014. V. 7 (2), P. 205–218.
  30. Bianchini S., Daneri S. On the sticky particle solutions to the multi-dimensional pressureless Euler equations // Preprint arXiv:2004.06557 (2020).

Дополнительные файлы


© Н.В. Клюшнев, Ю.Г. Рыков, 2023