


Том 63, № 12 (2023)
ЮБИЛЕЙ



МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Численный анализ течения разреженного газа через систему коротких каналов
Аннотация
На основе S-модельного кинетического уравнения рассматривается задача о перетекании разреженного газа из резервуара высокого давления в резервуар низкого давления через плоскую мембрану с конечным числом пор. Кинетическое уравнение решается численно неявным консервативным методом второго порядка точности, реализованным в собственном расчетном коде Несветай. Для переходных и континуальных режимов получены численные решения уравнений Навье–Стокса сжимаемой среды. Изучается зависимость от числа Кнудсена (\({\text{Kn}}\)) расхода газа через систему пор и действующие на стержни мембраны силы при отношении давлений в резервуарах \(2:1\). Описаны особенности поля течения вблизи мембраны и на удалении от нее. Библ. 49. Фиг. 13. Табл. 3.



Эволюция формы облака газа при импульсном лазерном испарении в вакуум: прямоe статистическоe моделирование и решение модельного уравнения
Аннотация
Проведено исследование динамики разлета газа при наносекундном лазерном испарении в вакуум. Задача рассматривается в осесимметричной постановке для широкого диапазона параметров: числа испаренных монослоев и размера пятна испарения. Для получения достоверного численного решения используются два разных кинетических подхода: прямое статистическое моделирование методом Монте-Карло и решение модельного кинетического уравнения БГК. Анализируется изменение формы облака испаренного вещества в процессе разлета. Показано сильное влияние степени разреженности на форму формирующегося облака. При испарении большого числа монослоев наблюдается хорошее согласие с континуальным решением. Библ. 57. Фиг. 6.



Численный и теоретический анализ модельных уравнений для многокомпонентного разреженного газа
Аннотация
Исследуются модельные уравнения, аппроксимирующие систему уравнений Больцмана для многокомпонентного газа. Анализируются методы определения параметров в релаксационных членах, соответствующих интегралам перекрестных столкновений. Проводится численное сравнение решений с использованием трех модельных систем и уравнений Больцмана на примере следующих задач: релаксация смеси к равновесию, задача о структуре ударной волны и определение динамики парогазового облака, вызванного импульсным лазерным облучением вещества мишени. Показано влияние параметров в релаксационных операторах на степень отличия решений при использовании различных моделей. Библ. 25. Табл. 2. Фиг. 3.



О моделировании струи разреженной плазмы на основе кинетических уравнений
Аннотация
Рассматривается задача о струе разреженной плазмы, выходящей из стационарного плазменного двигателя. Рассмотрение проводится полностью на кинетическом уровне, а именно, для описания движения всех компонент плазмы вводятся функции распределения. Система кинетических уравнений должна решаться совместно с уравнениями Максвелла. Обсуждаются методы решения полученной задачи. Библ. 10. Фиг. 1.



Алгоритм параллелизации по данным для метода прямого статистического моделирования течений разреженного газа на основе технологии OpenMP
Аннотация
Рассмотрен алгоритм параллелизации по данным для метода прямого статистического моделирования течений разреженного газа. Выполнен анализ масштабирования производительности основных процедур алгоритма. Показано удовлетворительное масштабирование производительности параллельной процедуры индексации частиц, предложен алгоритм ускорения работы данной процедуры. На примерах решения задач о свободном потоке и обтекании конуса для 28-ядерного узла с общей памятью получено приемлемое ускорение работы всего алгоритма. Проведено сравнение эффективности алгоритма параллелизации по данным и алгоритма декомпозиции расчетной области для свободного течения. С использованием разработанного параллельного кода выполнено исследование обтекания конуса сверхзвуковым разреженным потоком. Библ. 39. Фиг. 18. Табл. 2.



Неклассический перенос тепла в микроканале и одна задача для решеточных уравнений Больцмана
Аннотация
В работе рассмотрена одномерная задача о переносе тепла в ограниченной области (микроканале), заполненной разреженным газом. На левой границе в область направлены два молекулярных пучка, причем скорость частиц в каждом пучке одинакова. Правая граница считается твердой стенкой и для нее ставятся условия диффузного отражения. Используя кинетическую модель Шахова, показано, что изменяя отношения скоростей молекулярных пучков, можно задать в микроканале поток тепла разной величины и знака, при этом температуры левой правой границ в канале одинаковы, либо градиент температуры в приграничной зоне имеет тот же знак, что и поток тепла. С данной задачей связана проблема построения решеточных уравнений Больцмана с четырьмя скоростями, правильно воспроизводящими первые максвелловские полумоменты, что необходимо для моделирования микротечений. Показано, что в этом случае для решеточных моделей Больцмана оптимальным отношением дискретных скоростей является 1 : 4. Библ. 37. Фиг. 4.



Исследование неклассического переноса с применением численных методов решения уравнения Больцмана
Аннотация
Рассмотрено современное состояние исследований неравновесных течений газа с неклассическим переносом, в которых принципиально нарушаются законы Стокса и Фурье (и соответственно метод Чепмена–Энскога неприменим). Для надежного подтверждения эффектов используются расчетные методы различной природы: прямое решение уравнения Больцмана и прямое моделирование Монте-Карло. Неклассический аномальный перенос проявляется на масштабах 5–10 длин свободного пробега, что подтверждает тот факт, что необходимым условием эффектов является сильная неравновесность течения. Рассмотрены двумерные задачи о сверхзвуковом течении около плоской пластины в переходном режиме, а также о сверхзвуковом потоке через мембраны (сетки), где за сеткой течение соответствует задаче о пространственно неоднородной релаксации. В этой области формируются неравновесные распределения, демонстрирующие аномальный перенос. Обсуждается связь эффекта со вторым началом термодинамики, рассматриваются возможности для экспериментальной проверки, а также намечаются перспективы создания на этой основе некоторых новых микроприборов.



Ускорение решения уравнения Больцмана с помощью контроля величины вкладов в интеграл столкновений
Аннотация
Предлагается способ уменьшения объема требуемых для вычисления интеграла столкновений Больцмана консервативным проекционным методом арифметических операций с помощью исключения вкладов, меньших некоторого заданного порогового уровня. Дается оценка максимальной величины такого уровня. Для четырех уровней, отличающихся на порядок, проведены расчеты течений разреженного газа при числах Маха от 0.5 до 10 и сравнение с решениями базовым методом. Во всех случаях имеются незначительное, в пределах нескольких процентов, отличие результатов для самого высокого порогового уровня и практически полное совпадение для остальных. Получено многократное ускорение решения уравнения Больцмана, наиболее значительное для больших чисел Маха. Библ. 35. Фиг. 20. Табл. 1.



Трехмерное моделирование высокоскоростного движения тела в трубе с разреженным газом
Аннотация
В работе исследуется обтекание тела, которое движется с высокой дозвуковой скоростью в трубе, заполненной разреженным газом. Данная аэродинамическая задача рассматривается применительно к проблеме создания высокоскоростного вакуумного транспорта в условиях конечных чисел Кнудсена. Выбраны параметры, максимально приближенные к целевым характеристикам проектов таких систем, а именно: скорость порядка 1000 км/ч, значительный относительный поперечный размер тела, смесь азота и кислорода (воздух) в качестве газа. Задача решалась в трехмерной постановке. Библ. 31. Фиг. 7. Табл. 3.



Об одном методе расчета нестационарного теплообмена газового потока и твердого тела
Аннотация
Представлен метод расчета нестационарного теплового взаимодействия вязкого газового потока и твердого тела. Метод состоит в выполнении прямого совместного интегрирования по времени уравнений газодинамики многокомпонентной смеси и уравнения теплопроводности в твердом теле на многоблочных неструктурированных сетках. Для расчета одного временного шага используется расщепление системы определяющих уравнений на гиперболическую и параболическую подсистемы. Численный метод обеспечивает аппроксимацию условия сопряжения (непрерывность температуры и нормальной к границе компоненты вектора теплового потока) на интерфейсной границе между газом и твердым телом и эффективен для нестационарных расчетов. Результаты сравнения с аналитическим решением модельной задачи о взаимодействии высокоскоростного потока и нагреваемой пластины подтверждают эффективность предложенного метода. Библ. 23. Фиг. 4.



Формирование особенности в несжимаемом пограничном слое на движущейся вверх по потоку стенке при заданном внешнем давлении
Аннотация
Рассматривается двумерное ламинарное обтекание плоской пластины вязкой несжимаемой жидкостью при больших числах Рейнольдса. В рамках асимптотической теории исследуется влияние тела, сносимого вниз по потоку с малой скоростью относительно пластины, на пограничный слой Блазиуса. Исследуется случай, в котором внешнее малое тело, моделируемое потенциальным диполем, движется вниз по потоку с постоянной скоростью. Эта классическая задача формально нестационарна, однако в результате перехода в подвижную систему координат, связанную с диполем, она описывается стационарными решениями уравнений пограничного слоя на движущейся вверх по потоку стенке. Найденные численно решения этой задачи содержат закрытые и открытые висячие отрывные зоны в поле течения. В работе рассчитаны нелинейные режимы влияния диполя на пограничный слой с противотоками и обнаружено, что по мере возрастания интенсивности диполя растет и заданное им давление, действующее на пограничный слой, что вызывает по достижении некоторой критической интенсивности диполя особенность внутри поля течения. Изучена асимптотика решения задачи вблизи уединенной особой точки поля течения и найдено, что вертикальная составляющая скорости обращается в ней в бесконечность, вязкое напряжение в нуль, а при бо́льших интенсивностях диполя решение задачи не существует. Библ. 16. Фиг. 6.



Stability Analysis of Polymerization Fronts
Аннотация
Анализ устойчивости фронтов полимеризации.
В статье исследуется влияние некоторых параметров на условия устойчивости фронта реакции в жидкой среде. Математическая модель состоит из уравнения теплопроводности, уравнения концентрации и уравнения Навье–Стокса в приближении Буссинеска. Асимптотический анализ проводился с использованием приближения, предложенного Зельдовичем и Франк-Каментским для решения проблемы интерфейса. Анализ стабильности был проведен для получения линеаризованной задачи, которая будет решаться численно с использованием мультиквадратного радиального базиса методом функции для нахождения конвективного порога. Это позволит сделать вывод о влиянии каждого параметра на стабильность фронта, в частности амплитуду и резонансную частоту.



Generalisation of the Penalised Wall Function Method for the Simulation of Turbulent flows With Unfavourable Pressure Gradients
Аннотация
Обобщение метода пенализированных пристеночных функций для моделирования турбулентных течений с неблагоприятным градиентом давления.
Метод пенализированных пристеночных функций разработан для расчета пристеночных областей турбулентных течений в задачах численного моделирования вязких сжимаемых течений. В основе метода – дифференциальное условие сшивки внешнего решения с пристеночной функцией, в котором используется обобщение метода характеристических штрафных функций для переноса касательного напряжения из внешней области пограничного слоя на поверхность тела. В работе представлены модификации метода относительно его первоначальной формулировки, которые позволили расширить область его применения на задачи моделирования течений в присутствии внешнего градиента давления, вызывающего формирование зон отрыва и присоединения, а также использовать расчетные сетки более грубого пристеночного разрешения. Эти преимущества продемонстрированы на примере решения двух тестовых задач: задач безградиентного обтекания пластины и обтекания пластины в присутствии неблагоприятного градиента давления.



ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Density Function-Based Trust Region Algorithm for Approximating Pareto Front of Black-Box Multiobjective Optimization Problems
Аннотация
Основанный на функции плотности алгоритм определения доверительной области для аппроксимации границы Парето задач многоцелевой оптимизации типа “черный ящик”.
Рассматривается задача многоцелевой оптимизации типа “черный ящик”, целевые функции которой требуют больших вычислительных затрат. Предложен основанный на функции плотности алгоритм оценки доверительной области для аппроксимации границы Парето этой задачи. На последовательных итерациях определяется граница доверительной области, а затем в ней выбирается несколько точек выборки, в которых оцениваются значения целевой функции. Для получения в такой области решения без доминирования заданные целевые функции преобразуются в одну скалярную функцию. Затем строятся модели с квадратичным характером целевых функций. В текущей доверительной области находятся решения всех задач оптимизации с одной целевой функцией. Затем удаляются доминирующие точки из множества полученных решений. Для оценки распределения решений без доминирования вводится функция плотности, используя которую получены наиболее “изолированные” точки. Доказана сходимость предложенного алгоритма при некоторых допущениях. Численные результаты показывают, что, даже в случае задач оптимизации с тремя целями, точки, генерируемые предложенным алгоритмом, равномерно распределяются по границе Парето.



ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
A Uniformly Convergent Numerical Method for Singularly Perturbed Semilinear Integro-Differential Equations with Two Integral Boundary Conditions
Аннотация
Равномерно сходящийся численный метод для решения сингулярно возмущенных полулинейных интегродифференциальных уравнений с двумя интегральными граничными условиями.
Целью данной статьи является представление новой дискретной схемы для сингулярно возмущенной полулинейной системы. Интегродифференциальное уравнение Вольтерра–Фредгольма включает два интегральных граничных условия. Приведены некоторые основные аналитические свойства решения, а затем с помощью составных формул численного интегрирования построена неявная разностная схема на равномерной сетке. Дана оценка погрешности приближенного решения и приведены границы устойчивости в дискретной равномерной норме. Представлен численный пример, иллюстрирующий е-равномерную сходимость предложенной разностной схемы.



A Novel Fitted Approach for the Solution of a Class of Singularly Perturbed Differential-Difference Equations Involving Small Delay in Undifferentiated Term
Аннотация
Новый адаптивный метод решения для класса сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений с малой сдвижкой в недифференциальном члене.
Рассмотрен метод решения класса сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений с малой сдвижкой. С помощью разложения в ряд Тейлора задача сводится к эквивалентной версии исходной задачи, для которой затем предложена новая трехчленная конечно-разностная рекуррентная схема ее решения. Неоднородность решения преодолевается введением подходящего параметра настройки в полученной схеме. Итоговая система алгебраических уравнений решается с помощью дискретно-инвариантного алгоритма. Исследованы устойчивость и сходимость метода и дано приложение этого подхода к решению нескольких тестовых задач. Приведенные примеры показывают, что метод способен хорошо аппроксимировать решение со скоростью сходимости второго порядка.



УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Stability and Error Estimates of High Order Bdf-Ldg-Discretizations for the Allen–Cahn Equation
Аннотация
Устойчивость и оценки погрешности метода Галеркина высокого порядка для уравнения Аллена–Кана.
Исследовано применение метода Галеркина высокого порядка с локальными разрывами в сочетании с формулами дифференцирования против потока третьего и четвертого порядков для уравнения Аллена–Кана. Численная дискретизация обеспечивает преимущества линейности и высокой точности как по пространству, так и по времени. Проанализированы оценки устойчивости и погрешности дискретизации по времени третьего порядка и четвертого порядка в приложении к численному решению уравнения Аллена–Кана. Теоретический анализ показывает устойчивость и оптимальные результаты погрешности этих численных дискретизаций в том смысле, что шаг по времени должен быть положительным и при этом он не зависит от шага сетки. Ряд численных примеров показал справедливость проведенного анализа. Сравнение с численной дискретизацией первого порядка показывает, что предложенная дискретизация высокого порядка имеет высокую эффективность при решении жестких задач.



Multipole Representation of the Gravitational Field for Asteroid (16) Psyche
Аннотация
МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ АСТЕРОИДА (16) ПСИХЕЯ



ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Исследование дефектов и построение гармонических сеток в областях с углами и выемками
Аннотация
Представлен обзор ряда работ, посвященных трудностям построения гармонических сеток в плоских областях с углами и выемками, а также приведены некоторые новые результаты. Известно, что гармоническая сетка, построенная с помощью общепринятых методов в областях с выемками или входящими (т.е. бóльшими π) углами, может содержать такие дефекты, как ее самопересечение или выход за пределы области. Установлено, что вблизи вершины входящего угла эти дефекты вытекают из построенной в работе асимптотики используемого гармонического отображения, согласно которой изолиния, исходящая из этой вершины, касается в ней одной из сторон угла (т.е. возникает эффект “прилипания”), за исключением особого случая. Для трех типов областей \(\mathcal{Z}\) с углами или выемками (\(L\)-образной, подковообразной и области с прямоугольным вырезом), применение к которым общепринятых методов построения гармонической сетки наталкивается на известные трудности, дан обзор известных результатов. Применение к этим областям метода мультиполей позволило получить их гармоническое отображение с высокой точностью: апостериорная оценка погрешности отображения в норме \(C(\overline{\mathcal{Z}})\) составила 10–7 при использовании 120 аппроксимативных функций. Библ. 53. Фиг. 19.



Projection-Grid Schemes on Irregular Grids for a Parabolic Equation
Аннотация
Проекционно-сеточные схемы на нерегулярных сетках для параболического уравнения.
Построено семейство проекционно-сеточных схем для аппроксимации параболических уравнений с переменным коэффициентом диффузии в тензорной форме. Разработанные схемы обладают свойством консервативности и сохраняют свойство самосопряженности, присущее исходному дифференциальному оператору. Предложенные схемы предназначены для выполнения расчетов на трехмерных нерегулярных разностных сетках, в том числе тетраэдральных, смешанных (сетках произвольных многогранников) и локально-адаптивных (типа восьмеричное дерево).



Конформное отображение Z-образной области
Аннотация
Для задачи конформного отображения полуплоскости на \(\mathbb{Z}\)-образную область с произвольной геометрией разработан метод эффективного нахождения параметров интеграла Кристоффеля–Шварца, т.е. прообразов вершин и предынтегрального множителя. Особое внимание уделено случаю кроудинга прообразов, когда традиционные методы интегрирования сталкиваются со значительными трудностями. Для этого вводится понятие кластера, определяются его центр и все подынтегральные биномы с прообразами из этого кластера разлагаются в быстросходящийся ряд по однородной схеме. Возникающие интегралы далее сводятся к одинарному или двойному ряду по гипергеометрическим функциям Гаусса \(F(a,b;c;q)\). Использование формул аналитического продолжения для \(F(a,b;c;q)\) в окрестность точки \(q = 1\) и численно устойчивых рекуррентных соотношений позволило обеспечить быструю сходимость полученных разложений. Построенные разложения оказываются также весьма эффективными при выборе начальных приближений прообразов в итерационном методе Ньютона. Использование старших членов этих разложений позволяет выразить приближения для прообразов в явном виде через элементарные функции, а последующие итерации обеспечивают быструю сходимость алгоритма. После нахождения параметров в интеграле искомое отображение строится в виде комбинации степенных разложений в прообразах, регулярных разложений в прообразе центра симметрии, в виде ряда Лорана в полукольце и в виде специальных рядов в окрестности прообразов торцевых отрезков. Численные результаты показали высокую эффективность разработанного метода, особенно в случае сильного кроудинга прообразов. Библ. 30. Фиг. 7.



Study of the Gardner Equation with Homogeneous Boundary Conditions Via Fourth Order Modified Cubic B-Spline Collocation Method
Аннотация
Исследование уравнения Гарднера с однородными граничными условиями с помощью метода коллокаций с кубическими B-сплайнами для модифицированного уравнения четвертого порядка.
Исследуется уравнение Гарднера, которое преобразуется в связанную систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, и для нахождения его численного решения применяется модифицированный метод коллокации кубических B-сплайнов. Дискретизация по времени и линеаризация уравнения Гарднера были выполнены с использованием метода Кранка–Николсона и соответствующей квазилинеаризации. Получена система линейных алгебраических уравнений, анализ которой по методу Неймана показал условную устойчивость. Численные исследования этого уравнения проведены в различных постановках, таких как распространение начального положительного импульса и волны с изломом, распространение и взаимодействие двух солитонов, образование волны из одного солитона, эволюция стоячих солитонов. Полученные результаты сравнены с имеющимися в литературе и наиболее достоверными. Вычисляются также интегралы в этой задаче, чтобы показать справедливость законов сохранения. Численные результаты демонстрируют высокую точность и обоснованность настоящего метода.


