THE CAPABILITIES OF NUMERICAL MESHLESS METHODS FOR MODELING THE MECHANICAL BEHAVIOR OF ICE MEDIUM

Full Text

Введение. Постановка проблемы

В последнее время численные методы в прикладной механике льда переживают интенсивное развитие, обусловленное растущей потребностью в разработке и усовершенствовании расчетных моделей контактного взаимодействия элементов конструкции с ледовой средой. Ледовые условия, характерные для арктических и субарктических регионов, создают серьезные вызовы при проектировании и эксплуатации инженерных сооружений, таких как буровые платформы, ледокольные суда, амфибийные транспортные средства, элементы пропульсивного комплекса (ПК) и т.д. Корректное и достоверное определение ледовых нагрузок имеет большое прикладное значение для обеспечения надежности, безопасности и долговечности перечисленных конструкций и сооружений.

Традиционно для оценки ледовых нагрузок разрабатываются специализированные нормативные документы, которые относятся к определенному типу сооружений и в значительной степени опираются на экспериментальные исследования и накопленный опыт эксплуатации. Такой подход обычно приводит к консервативным оценкам с упрощенными схемами приложения нагрузок, что не позволяет в полной мере учитывать сложную многофакторную природу и динамику взаимодействия объекта со льдом. Эти обстоятельства подчеркивают необходимость применения современных методов проектирования морских ледостойких сооружений, включая численное моделирование силового взаимодействия льда с элементами и деталями конструкций, сооружений и машин. Развитие численных методов позволяет моделировать сложные процессы взаимодействия льда с инженерными объектами, что открывает новые возможности для повышения эффективности проектных решений, особенно в условиях ограниченного опыта эксплуатации.

В настоящее время полномасштабное численное моделирование в проектировании морских ледостойких сооружений используется крайне редко. Хотя количество исследований по численному моделированию механики льда пока невелико, их число увеличивается в последние годы, что свидетельствует о растущем интересе научного сообщества к этой теме. Необходимо отметить, что, с вычислительной точки зрения, задачи локального взаимодействия жестких объектов и деформируемых конструкций с ледовыми массивами являются одними из самых сложных задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ), так как они включают практически все виды нелинейностей. В общем случае, указанные задачи являются нестационарными (быстропротекающими), контактными, геометрически и физически нелинейными, что требует выработки соответствующих подходов к численному моделированию контактного взаимодействия с ледовой средой.

На сегодняшний день не существует общепризнанных численных моделей, которые бы учитывали все особенности поведения льда под нагрузкой. Это отчасти объясняет большое количество численных моделей, разработанных за последние годы для описания поведения хрупких материалов, таких как лед. Более того, остаются нерешенными вопросы о возможности использования и пределах применимости различных численных методов, разработанных в других областях МДТТ, непосредственно для моделирования контактного взаимодействия льда с конструкциями и элементами сооружений. Отсутствие общепризнанного мнения по данному вопросу служит стимулом для более детальной и глубокой проработки проблемы.

На основании изложенного, целью настоящей работы является обзор и анализ возможностей современных численных методов МДТТ применительно к задачам скоростного деформирования и разрушения ледовой среды, а также разработка собственной математической модели, интегрирующей новейшие достижения вычислительной механики, для описания механического поведения льда в широком диапазоне изменения внешних воздействий.

Фундаментальные подходы к математическому моделированию ледовой среды

На текущий момент различают два основных фундаментальных подхода к рассмотрению (моделированию) льда [1]:

1. Как сплошного тела в виде непрерывной среды, поведение которой описывается классическими уравнениями механики сплошных сред (МСС). Одним из ключевых преимуществ рассматриваемого подхода является возможность его легкой интеграции с классическими сеточными методами (методом конечных элементов, МКЭ и его модификациями). Однако, несмотря на широкую распространенность МКЭ, моделирование льда как сплошного тела имеет серьезные ограничения в задачах хрупкого разрушения, сопровождающегося нарушениями сплошности и интенсивной дефрагментацией ледовой среды;
2. Как дискретного тела, состоящего из большого числа отдельных элементов (частиц, гранул), способных определенным образом взаимодействовать друг с другом. Для описания механического поведения среды в рамках указанного подхода используются бессеточные методы МДТТ, не зависящие от фиксированной сетки, характерной для традиционных методов (МКЭ и его модификации). Фактическое отсутствие конечно-элементной сетки и замена тела набором отдельных частиц позволяет эффективнее и точнее моделировать процессы динамического взаимодействия и разрушения, сопровождающиеся интенсивным трещинообразованием и дефрагментацией материала (в виде дробления, крошения, скалывания и смятия).

В связи с тем, что на текущий момент не существует общепризнанных методов численного моделирования силового воздействия льда на конструкции и сооружения, предварительный анализ и сопоставление различных подходов, выработанных в отдельных областях прикладной механики льда, остается актуальным.

Возможности сеточных методов в задачах прикладной механики льда

Исторически для численного моделирования ледовой среды исследователи сначала начали применять сеточные методы, ставшие основной для анализа механического повеления льда под нагрузкой, особенно в области пластического поведения при относительно невысоких скоростях деформации.

Метод конечных элементов (МКЭ, или Finite Element Method, FEM) широко распространен для решения задач МДТТ и является наиболее очевидным методом для моделирования взаимодействия льда с телами. Имеющийся на текущий момент опыт моделирования разрушения льда [1] предлагает несколько наиболее часто используемых решений:

• использование технологии удаления отдельных разрушенных элементов (Element Erosion Technique, EET), обладающей целом рядом упрощений и допущений. В EET ледовое поле моделируется как сплошное тело, для которого задаются законы деформирования и критерии разрушения. Разрушенные элементы удаляются из модели и не участвуют в последующем процессе взаимодействия, что, очевидно, приводит к нарушению законов сохранения и не может восприниматься как надежный метод для расчета параметров ледового воздействия на конструкцию. Графический пример расчетов с применением технологии удаления разрушенных элементов (EET) представлен на рисунке 1 [1, 2].

Рисунок 1 – Моделирование внедрения опоры сооружения в ледовое поле с применением технологии удаления разрушенных элементов (EET), по материалам [1, 2]

• использование расширенного метода конечных элементов (XFEM), позволяющего моделировать развитие трещин (повреждений) в теле в произвольном направлении вне зависимости от КЭ-сетки. На текущий момент имеется успешный опыт моделирования разрушения при помощи XFEM для таких материалов, как бетон и сталь [3], однако непосредственно для льда метод, вероятно, не применялся. К серьезным недостаткам метода XFEM относится слабая сходимость решения при наличии большого количества повреждений (трещин), что не может в полной мере быть использовано при моделировании хрупкого разрушения льда, для которого характерна интенсивное нарушение сплошности [3].

Метод сцепляющихся (когезионных) элементов (МСЭ, Cohesive Zone Elements, CZM), нашедший применение в области механики хрупкого разрушения для моделирования процессов возникновения и распространения трещин в деформируемых твердых телах [4, 5].

В задачах ледовой механики в МСЭ-подходе сплошное ледовое поле строится в КЭ-постановке и состоит из основных (bulk) и вспомогательных (связывающих, cohesive) элементов, см. рисунок 2 [6, 7]. В качестве основных элементов принимается сплошное ледовое поле, разбитое на n конечных элементов. Связывающиеся элементы в модели ледового поля выполняют роль трещин. При достижении критических напряжений трещины раскрываются путем удаления соответствующих когезионных элементов. В отличие от рассмотренных выше методов, в CZM-постановке разрушенные элементы не удаляются из модели, а, наоборот, присутствуют в ней в виде ледовых обломков, взаимодействующих с сооружением и между собой. Таким образом, одним из важнейших аспектов CZM-модели является учет процесса перехода сплошного ледового образования при его разрушении к дискретному (образование фрагментов льда).

Рисунок 2 – Фрагмент КЭ-модели ледового поля с использованием метода сцепляющихся элементов [6, 7]

К настоящему времени метод CZM нашел достаточно широкое применение в задачах численного моделирования взаимодействия льда с различными сооружениями и конструкциями (рисунок 3). В работе [6] выполнено численное моделирование взаимодействия лопасти гребного винта со льдом на режиме фрезерования (прорезания) льда; в сериях работ авторов [7] и др. выполнено численное моделирование разрушения ледового поля при движении судна во льдах; в работе [8] выполнено моделирование взаимодействия ледового поля с маяком Norströmsgrund; в работе [9] представлены результаты моделирование ледовых воздействий на вертикальную колонну с применением методологии сцепляющихся элементов (CZM), рисунок 3.

Отмечается, что в ходе моделирования указанных выше задач в режиме реального времени получены «физичные» картины разрушения ледового поля в процессе его взаимодействия с конструкций, а также, в целом, удовлетворительные зависимости глобальных ледовых нагрузок от времени. Указанные обстоятельства говорят в пользу технологии (метода) сцепляющихся элементов (CZM) как об инструменте, способном с высокой степенью достоверности моделировать ледовые воздействия. К недостаткам метода можно отнести сеточную зависимость, а также возможность распространения трещин только в плоскостях когезионных элементов.

Рисунок 3 – Примеры использования МСЭ для численного моделирования взаимодействия льда с лопастями ГВ [6], опоры сооружения [8, 9], корпуса судна [7]

Возможности бессеточных методов в задачах прикладной механики льда

В отличие от традиционных сеточных методов (МКЭ), бессеточные методы в настоящее время находятся лишь на начальном этапе полномасштабного внедрения в программные комплексы численного моделирования и по этой причине пока не достигли присущей МКЭ степени проработки. Несмотря на их значительный потенциал в моделировании разрушения и скоростного контактного взаимодействия, многие аспекты бессеточных методов (такие как численная стабильность, возможность использования специализированных решателей и технологий моделирования) требуют дальнейшего исследования и улучшения. В настоящее время бессеточные методы, безусловно, являются перспективным вектором развития, однако пока что не обладают столь же обширной верификационной базой, как сеточные методы, что ограничивает их широкое использование в инженерной практике [10].

Гидродинамика сглаженных частиц (Smooth Particle Hydrodynamics, SPH) представляет собой бессеточный метод, в котором среда заменяется набором частиц, между которыми распределены параметры среды. Указанные частицы среды имеют пространственное расстояние (т.н. длину сглаживания), на котором их свойства сглаживаются функцией ядра.  Это означает, что любая физическая величина любой частицы может быть получена суммированием соответствующих величин всех частиц, находящихся в пределах действия их сглаженных длин.

Как следует из названия, SPH широко применяется в вычислительной гидродинамике, однако в настоящее время активно ведутся работы по адаптации метода для МДТТ, в первую очередь применительно к задачам хрупкого разрушения [11, 12]. Метод позволяет моделировать развитые деформации и разрушения среды путем разделения скопления частиц. В работе [13] представлены решения задач хрупкого разрушения образцов льда при изгибе и сжатии, а также выполнено прогрессирующее разрушение ледяной балки о препятствие и разрушение равномерного ледяного покрова при прохождении судна с разными скоростями (без учета водной среды). В работе [14] выполнено численное моделирование взаимодействия цилиндрической колонны (гладкой, с цилиндрическими и кольцевой наделками) с ровным ледовым полем в SPH-постановке, см. рисунок 4

Рисунок 4 – Численное моделирование взаимодействия опорной колонны с ровным ледовым полем методом SPH, по материалам работы [14]

Основные достоинства SPH [10] заключаются в фактическом отсутствии КЭ-сетки и, как следствие, сеточной независимости результатов расчетов. В SPH пути разрушения льда возникают естественным образом, а наличие начального дефекта (трещины), как в сеточных методах, не требуется. При этом, хотя качественная картина разрушения не зависит от конфигурации частиц, минимальные размеры осколков льда зависят от их размеров, т.е. от степени дискретизации расчетной области. Отмечается [10, 14], что главным недостатком SPH-метода является нестабильность растяжения, при которой разрушение происходит не по физическим критериям, а из-за «потери видимости» друг друга соседними частицами вследствие больших деформаций среды. Также в SPH имеется проблема строгого удовлетворения граничных условий (ГУ) [10, 14]. Помимо этого, SPH подвержен наличию «паразитных» собственных колебаний с нулевой энергией, что является следствием аппроксимации как значений поля, так и его производных в одних и тех же точках [10, 14]. Таким образом, приложения метода SPH к механике твердых тел до сих пор остается относительно неисследованной областью знаний.

В целом, метод SPH больше направлен на моделирование водной среды. В ряде работ [15–17] лед в SPH-постановке рассматривается как упругий объект, движущийся по поверхности воды. Можно сделать вывод, что метод гидродинамики сглаженных частиц (SPH) лучше всего подходит для крупномасштабного исследования, анализа переноса больших масс льда, оценки давления жидкости на ледяной покров и т.д., т.е. в задачах, в которых не требуется непосредственное рассмотрение локальной деформации и разрушения льда.

Метод сглаженных частиц Галеркина (Smoothed Particle Galerkin, SPG), также известный как метод частиц с физическим механизмом разрушения, разработанный для описания больших деформаций, разрушения и дефрагментации материалов [10]. В методе SPG была предпринята попытка преодолеть ограничения, наложенные на применение метода SPH для моделирования разрушения твердых тел. При моделировании разрушения материала в отличие от традиционных сеточных методов (МКЭ и его модификаций) в расчетной модели выполняются все законы сохранения (масса, импульс, энергия), что является необходимым для корректного описания процессов деформирования и разрушения среды. Критерий разрушения (т.е. нарушения связи между частицами среды) может быть определен непосредственно в рамках конститутивной модели материала (в виде функции напряжений, деформаций, уровня накопленных повреждений и др.). Математический и численный анализ показал, что метод SPG является устойчивым и сходящимся при моделировании быстропротекающего интенсивного разрушения материалов [18–20].

На сегодняшний день метод SPG успешно применяется для анализа пробития и высокоскоростного ударного воздействия на бетонные и металлические мишени, моделирования механической обработки металлов (шлифование, резание, сверление трением), прогрессирующего разрушения металлических и бетонных конструкций и т.д., т.е. в задачах, где требуется непосредственное физическое моделирование интенсивного разрушения и дефрагментации материала [18–20], что делает весьма перспективным использование указанного метода в прикладных задачах механики льда. Количество работ по использованию метода SPG для моделирования разрушения льда и расчета ледовых воздействий на сооружения на текущий момент весьма незначительно.

В работе [21] выполнено численное моделирование взаимодействие ледового поля и опорной колонны, полученных с помощью методов SPH и SPG, однако сопоставление результатов расчета показало значительные расхождения в значениях. В то же время, в работе [22] на основе метода SPG выполнено моделирование разрушения ледового образца при одноосном сжатии, а также столкновение корпуса полярного судна с ледовым полем, см. рисунок 5 ниже.  В представленной работе [22] отмечается «согласованность результатов численного моделирования с экспериментом», что, в целом, говорит о возможности применения указанного метода для моделирования силового взаимодействия льда с деталями и конструкциями ледостойких сооружений, однако на текущий момент в первую очередь требуются дополнительные исследования по адаптации метода SPG применительно к задачам хрупкого разрушения.

Рисунок 5 – Численное моделирования столкновения корпуса полярного судна с ледовым полем методом SPG (вид сверху). Распределение эквивалентных напряжений в ледовом блоке в различные моменты времени [22]

Метод дискретных элементов (Discrete Element Method, DEM), помимо SPH и SPG, является другим бессеточным методом, применяемым для анализа хрупкого разрушения. В DEM-подходе физическое состояние системы складывается из физического состояния входящих в нее дискретных элементов [23]. Совокупность всех элементов образует исследуемую среду, но каждый дискретный элемент является независимым и определенный образом взаимодействует с соседними элементами. Общее (макроскопическое) состояние/поведение системы является результатом взаимодействия отдельных (дискретных) частиц. Изначально DEM был разработан для численного решения задач молекулярной динамики, но впоследствии был адаптирован для исследования динамики горных пород [23]. Теоретические основы метода DEM представлены в работе [24]. В настоящее время метод DEM активно применяется для моделирования сыпучих (гранулированных) сред [25]. Метод дискретных элементов наследует все преимущества бессеточных методов, а именно: DEM хорошо адаптирован для описания быстропротекающих процессов, связанных с переносом вещества [23]. Указанные процессы оказалось легче описать в виде, когда каждая частица имеет отдельное физическое состояние, а эволюция все среды (системы) обусловлена локальными физическими взаимодействиями между ее отдельными элементами.

Применение DEM для моделирования непрерывных (сплошных) сред потребовало выработки специальных подходов моделирования, нетипичных для исходного метода. Как результат, метод дискретных элементов был дополнен моделями связей в виде балок, соединяющих элементы [23, 26], рисунок 6 (a). Связь между частицами представляет собой виртуальную балку, ограничивающую тангенциальное и нормальное смещение частиц относительно друг друга. Разрыв связи между частицами происходит при достижении заданных критических условий, после разрыва связи частицы сохраняются в расчетной модели и продолжают взаимодействовать как независимые твердые тела [23, 24, 26].

а)

б)

Рисунок 6 – Численное моделирование методов дискретных элементов: а – дискретные элементы и визуализация балочных связей между ними [23]; б – моделирование массивных льдин, воздействующих на опоры шельфовых установок [28]

На основе модифицированной модели DEM в настоящее время предпринимаются попытки построитель численные модели льда. Работа [27] является одной из первых работ по оценке применимости DEM для моделирования льда, в которой выполнено моделирование одноосного сжатия и изгиба простейших образцов морского льда в трехмерной постановке. Впоследствии откалиброванные мезопараметры материала распространены на модели массивных льдин, воздействующих на опоры шельфовых установок, рисунок 6 (б) [28]. Метод DEM подходит для моделирования льдин с учетом того, что он особенно эффективен при независимом движении большого числа элементов. Причем геометрическая форма дискретных элементов необязательно должна представлять собой сферу (как на рисунке 6), что является простейшим случаем. Имеется возможность формирования двумерных/трехмерных осколков льда случайных размеров в заданных пределах [23, 24].

В работах [28–30] выполнено численное моделирование ледового сопротивления судна с использованием DEM-подхода, см. рисунок 7, и в режиме реального времени получены зависимости ледовых сил от скорости. Отмечается, что моделирование ледового сопротивления судна с применением DEM-методологии эффективно при исследовании зависимости пропульсивных характеристик от скорости движения (скорости взаимодействия со льдом) и толщины льда [30]. В целом ряде работ [31–34] в рамках методологии DEM представлено моделирование ледового покрова, его растрескивание и раскалывание, силовое воздействие на судно или опоры.

Рисунок 7 – Численное моделирование методом дискретных элементов ледового сопротивления судна в битом льду и прокладка канала ледоколом в сплошном льду [28–30]

Как видно из данных приведенных работ, использование методологии DEM особенно эффективно и перспективно в моделировании механики льда, но на текущий момент разработка данного направления только начинается. Отмечается [23], что является возможным использование нескольких методов в единой модели: МДЭ – для моделирования хрупкого разрушения льда и МКЭ – для анализа НДС конструкций, на которые воздействует лед. Указанное обстоятельство позволяет одновременно решать проблемы внешних сил и внутренних усилий в рамках единой вычислительной модели.

К основным недостаткам метода можно отнести чувствительность механизма разрушения льда к таким параметрам частиц, как их диаметр (в особенности отношение характерного размера ледового образца к размеру частиц), а также сложности определения нормальной и сдвиговой жесткости, прочности сцепления частиц на растяжение и сдвиг.

Математические основы метода сглаженных частиц (SPG)

По результатам представленного выше обзора и анализа существующих численных методов МДТТ, одним из наиболее перспективных непосредственно в задачах деформирования и разрушения ледовой среды является метод сглаженных частиц (SPG) [18–20]. Разработанный в 2015 г., он является естественным развитием численных методов механики деформируемого твердого тела.  Основные положения метода SPG, а также возможности его приложения в задачах прикладной механики льда содержатся в работах авторов [35, 36].

 Задача механики сплошной среды для тела объемом Ω и ограниченного поверхностью Г в перемещениях  (рисунок 8) записывается в виде:

- уравнений равновесия в объеме:

$F\left(u\right)+b=\rho u ̈+cu ̇ в объеме \Omega$                                                                             (1)

- кинематических граничных условий (ГУ) на части поверхности :

$u-u¯=0 на {Г}_u$                                                                                                    (2)

- силовых граничных условий (ГУ) на части поверхности :

$\sigma \bullet n_{\nu }-f¯=0 на {Г}_f$                                                                                                (3)

- начальных условий (НУ):

$├u┤{\left|}_{\right(}{t}_0)=u_0 в области \Omega$                                                                                            (4)

 $├u\dot{}┤{\left|}_{\right(}{t}_0)=v_0 в области \Omega$                                                                                           (5)

где – вектор внутренних реакций деформируемой среды;  – вектор внешних сил; векторы скоростей и ускорений соответственно;  плотность объема материала;  коэффициент демпфирования;  заданные перемещения;  – заданная интенсивность поверхностных сил;   – направляющие косинусы;  вектор напряжений;  – заданные начальные перемещения;  – заданная начальная скорость.

Приближенное решение задачи численными вариационно-разностными процедурами связано с аппроксимацией поля искомой функции  через конечное число основных неизвестных параметров с помощью набора функций формы. Эта аппроксимация используется для приведения путем дискретизации дифференциального уравнения (1), граничных условий (2), (3) и начальных условий (4), (5) к набору систем алгебраических уравнений относительно основных неизвестных задачи.

Опорным объектом дискретизации бессеточного метода является узел. Взаимодействие между узлами, определяемое функциями формы, зависит только от взаимного положения узлов. Узлы наносятся внутри области Ω и на границе Г, в том числе на частях границы  и  (рисунок 8). Векторы x и ξ содержат координаты произвольных точек тела, вектор  указывает на узел

Основными характерными компонентами бессеточного метода являются: построение аппроксимации решения с помощью функций формы; построение дискретной формы уравнения равновесия; построение дискретной формы граничных и начальных условий [35, 36].

Рисунок 8 – Расчетная модель бессеточного метода задачи механики деформируемого твердого тела, по материалам работ авторов [35, 36]

Построение аппроксимации решения с помощью функций формы

Общее поле перемещений  аппроксимируется конечным набором узловых параметров  с помощью некоторого набора координатных функций, определенных на всей области или на подобласти Ω (в зависимости от варианта численной процедуры):

$u\left(x\right)={\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i\left(x\right)\bullet 〗d_i$                                                                                             (6)

где  общее количество узловых параметров;  – координатная функция или функция формы;  – узловые параметры в точке .

 В бессеточном методе для построения гладкого аппроксимирующего поля перемещений через узловые параметры  применяется интегральное преобразование – свертка с использованием функции ядра  (оконная или весовая функция):

$u\left(x\right)={\int }_{\Omega }^{▒}\omega (x-\xi ,\gamma )\bullet d\left(\xi \right)d\Omega$                                                                                (7)

Уравнение (7) устанавливает, что перемещение в некоторой фиксированной точке x принимается как функция параметров перемещений окружающих точек ξ.

Построение дискретной формы уравнения равновесия

Построение разрешающей системы уравнений выполняется с помощью минимизации невязки , полученной из уравнения (1) при подстановке в него аппроксимации поля перемещений в форме (6):

$R_s({\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i(x)\bullet 〗d_i)=F\left(u\right)+b-\rho u¨-cu\dot{}$                                                                (8)

Минимизация достигается путем ортогонализации невязки по отношению к весовым функция ядра ω:

${\int }_{\Omega }^{▒}〖〖{\omega }_I\left(x\right)\bullet R{〗}_s({\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i(x)\bullet 〗d_i)d〗\Omega =0$                                                                            (9)

где . Здесь  – весовая функция ядра для узла I. Интегрирование выполняется численно методом Гаусса по узловым точкам.

Построение дискретной формы граничных условий (ГУ)

Невязка от ограничения по перемещениям, получаемая в результате подстановки в уравнение (2) аппроксимации поля перемещений (6), имеет вид:

$R_u({\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i(x)\bullet 〗d_i)=u-u¯$                                                                                         (10)

Ее ортогонализация весовыми функциями ядра ω дает соотношение:

${\int }_{\Gamma }^{▒}〖〖{\omega }_I\left(x\right)R{〗}_u({\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i(x)\bullet 〗d_i)dГ〗=0$                                                                            (11)

где .Здесь – весовая функция ядра для узла I. Интегрирование выполняется численно по узловым точкам.

Для получения системы разрешающих уравнений условия (10) и (11) объединяют, умножая второе слагаемое на штрафной коэффициент α:

${\int }_{\Omega }^{▒}〖〖{\omega }_I\left(x\right)\bullet R{〗}_s({\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i(x)〗d_i)d〗\Omega +\alpha {\int }_{\Gamma }^{▒}〖〖{\omega }_I\left(x\right)\bullet R{〗}_u({\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i(x)〗d_i)d〗\Gamma =0$                            (12)

Учет нелинейных и динамических эффектов

Нелинейное поведение тела при деформировании, которое связано с локальным нарушением целостности, изменением физической свойств материала и большими деформациями, приводит к необходимости решения нелинейной системы алгебраических уравнений относительно узловых параметров  Здесь, как и в известных численных процедурах, используются итерационные методы, например, метод Ньютона-Рафсона.

Моделирование локального разрушения материала реализуется в результате разрыва связи между соседними узлами путем обнуления пересекающихся функций формы при достижении на некоторой итерации заданного феноменологического критерия разрушения (например, превышение деформации критического значения).

Решение нестационарной динамической задачи с помощью численных процедур требует проведения не только рассмотренной пространственной дискретизации, но и временной. В бессеточных методах, также, как и в методе конечных элементов (МКЭ), используется разделение переменных, т.е.:

$u(x,t)={\sum }_{(}i=1{)}^N▒〖{\varphi }_i\left(x\right)\bullet 〗d_i\left(t\right)$                                                                                                      (13)

Дискретизация по времени узловых параметров проводится с помощью метода центральных разностей (МЦР), возможно также применение и других процедур, например, метода Ньюмарка.

Разработка и апробация математической модели механического поведения льда

На базе метода сглаженных частиц (SPG) и современных подходах механики повреждаемых сред авторами разработана математическая модель, способная описывать (воспроизводить) механическое поведение льда в широком диапазоне изменения внешних воздействий [35, 36]. В качестве модели материала (льда) используется феноменологическая модель динамического разрушения Джонсона-Холмквиста (сокращенно JH-2 модель) [37, 38].

Численное моделирование механических испытаний в квазистатическом режиме

В рамках разработанной модели проведено численное моделирование механических испытаний ледовых образцов в квазистатическом режиме, что позволило исследовать процессы деформации и разрушения льда при низких скоростях нагружения, рисунок 9. Моделирование в этом режиме было выполнено для воспроизведения условий, в которых инерционные эффекты минимальны, а развитие напряжений и деформаций происходит постепенно [35, 36].

При низких скоростях нагружения  лед проявляет способность к медленному накоплению повреждений и развитию микротрещин. При продолжительном квазистатическом нагружении может наблюдаться вязкое разрушение — процесс, при котором трещины в ледовой среде развиваются медленно, а разрушение происходит не мгновенно, а с задержкой, под воздействием постоянного напряжения. В этом режиме разрушение льда имеет плавный характер и связано с процессами ползучести, релаксации напряжений и перераспределения нагрузки в материале.

При увеличении скорости нагружения  ледовая среда переходит от вязкопластического поведения к хрупкому режиму разрушения. В этом режиме деформации не успевают релаксировать, что приводит к быстрому нарастанию напряжений и внезапному образованию трещин. Хрупкий режим разрушения характеризуется резким и катастрофическим развитием трещин, что значительно снижает способность льда выдерживать нагружение и ускоряет процесс его разрушения.

a)

б)

Рисунок 9 – Численное моделирование квазистатических испытаний на одноосное сжатие ( ): а – кривые деформирования (зона хрупкого разрушения); б – характерная картина распространения повреждений, по материалам работах авторов [35, 36]. Метод SPG

Характерные кривые деформирования для хрупкого режима разрушения представлены на рисунке 9 (а). Можно видеть, что в условиях квази-статики зависимость, в основном, линейная и разрушение происходит практически мгновенно при достижении критического напряжения. При этом в процессе нагружения наблюдается многократная силовая разгрузка образца, связанная с зарождением (инициализацией), накоплением и последующим распространением повреждений (выделено черным на рисунке 9). Фрагмент процесса распространения повреждений при квазистатическом нагружении представлен на рисунке 9 (б). Можно видеть, что повреждения в образце прорастают вертикально, а разрушение сопровождается образованием магистральных, раскалывающих образец трещин, что подтверждается экспериментальными исследованиями [35, 36].

Численное моделирование механических испытаний в динамическом режиме  

При динамическом нагружении ( ) ледовая среда испытывает значительные инерционные эффекты, что ускоряет процесс разрушения. В зоне хрупкого разрушения лед практически не проявляет пластических деформаций, а трещинообразование происходит резко и распространяется с высокой скоростью, рисунок 10. Это приводит к хрупкому отколу больших фрагментов материала. В отличие от квазистатического режима, при динамическом воздействии лед не успевает перераспределить напряжения, что делает его менее устойчивым к разрушению и вызывает внезапные структурные изменения.

a)

б)

Рисунок 10 – Численное моделирование динамических испытаний на одноосное сжатие ( ): а – кривые деформирования (зона хрупкого разрушения); б – характерная картина распространения повреждений, по материалам работах авторов [35, 36]. Метод SPG

Можно видеть (рисунок 10 (а), что в отличие от квазистатического режима при динамическом сжатии образец не претерпевает полного разрушения, а, наоборот, имеет значительную несущую способность даже после достижения критического напряжения. Фрагмент процесса распространения повреждений при динамическом нагружении представлен на рисунке 10 (б). Можно видеть, что повреждения в образце инициализируются и распространяются уже в докритическом состоянии. При этом фронт разрушения зарождается на поверхности контакта образца с движущейся плитой, и распространяется вглубь материала. Раздробленный лед вытесняется за пределы сжимающей плиты. Перечисленные ключевые особенности механического поведения ледовой среды в условиях скоростного нагружения подтверждаются экспериментальными исследованиями [35, 36].

Заключение

В работе произведен обзор и обобщение ключевых работ по применению численного моделирования в задачах прикладной механики льда, проанализированы достоинства и недостатки современных численных методов, а также обозначены границы их применимости. По результатам проведенных исследований, авторами предложена математическая модель механического поведения льда, разработанная на базе парадигмы бессеточных методов МДТТ (метод сглаженных частиц Галеркина, SPG). В качестве модели материала используется модель динамического разрушения Джонсона-Холмквиста (JH-2), способная феноменологически описывать механическое поведение льда в широком диапазоне изменения внешних воздействий. Предложенная математическая модель апробирована на базе стандартных механических испытаний ледовых образцов в квазистатическом и динамическом режимах нагружения. Полученные результаты численного моделирования качественно и количественно находятся в согласии с экспериментальными исследованиями, что свидетельствует о корректности и непротиворечивости разработанной численной модели. Указанная модель после более обширной апробации может найти применение для моделирования взаимодействия льда с деталями и конструкциями ледостойких сооружений и машин.

 

About the authors

Aleksandr A. Rodionov

Saint-Petersburg State Marine Technical University (SMTU)
Departemnt of Ship Mechanics

Email: rodionovsmk@yandex.ru

Dr. Sci. (Eng), Professor, Head of the Department of Ship Mechanics, St. Petersburg State Marine Technical University

Russian Federation, Lotsmanskaya, 10, St. Petersburg, 190121, Russian Federation

Sergey V. Ryabushkin

Saint-Petersburg State Marine Technical University (SMTU)
Department of Ship Mechanics

Author for correspondence.
Email: serg.ryabuschkin@yandex.ru

Graduate student, Department of Ship Mechanics, St. Petersburg State Marine Technical University

Russian Federation, Lotsmanskaya, 10, St. Petersburg, 190121

References

Supplementary files