Reduced dimension models for a plate fixed along one base and a part of the lateral side

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A thin homogeneous isotropic plate has fixed the lower base and a part of the lateral side. The asymptotics of frequencies of natural oscillations of the plate is constructed. In the case of long fixation zone the model implies the two-dimensional problem of the elasticity theory on the cross-section but the reducing of this zone leads to the localization of the modes of natural oscillations near the lateral side of the plate. The asymptotic analysis is based on inspection of the spectrum of the auxiliary planar problem in the semi-infinite strip which describes the boundary layer phenomenon.

Full Text

Restricted Access

About the authors

S. А. Nazarov

Institute of Mechanical Engineering Problems of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Russian Federation, Saint-Petersburg

References

  1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.
  2. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // Прикладная математика и механика. 1973. Т. 37. № 5. С. 913–924.
  3. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978.
  4. Ciarlet P.G. Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures: An Asymptotic Analysis. Paris: Masson, 1988.
  5. Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1 & 2. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000).
  6. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2002.
  7. Камоцкий И.В., Назаров С.А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // Проблемы матем. анализа. Вып. 19. Новосибирск: Научн. книга, 1999. С. 105–148.
  8. Назаров С.А. Дискретный спектр коленчатых квантовых и упругих волноводов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 5. C. 879–895.
  9. Rellich F. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von ∆u + λu = 0 in unendlichen Gebiete // Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 1943. V. 53. № 1. P. 57–65.
  10. Molchanov S., Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics // Comm. Math. Phys. 2007. V. 273. № 2. P. 533–559.
  11. Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc. 2008. V. 97. № 3. P. 718–752.
  12. Jones D.S. The eigenvalues of ∇ 2u + λu = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V. 49. P. 668–684.
  13. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
  14. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967.
  15. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  16. Назаров С.А. Двумерные асимптотические модели тонких цилиндрических упругих прокладок // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58. № 6. С. 738–755.
  17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (релятивистская теория). М.: Наука, 1974.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. Flat image of a plate of thickness h inserted into a groove of depth .

Download (53KB)
Indexing metadata

Note

Presented by Academician of RAS N.F. Morozov


Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences