Том 59, № 6 (2023)

Для непрерывных и дискретных линейных автономных систем обсуждается возможность выбора коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, обеспечивающих выполнение условия знакоотрицательности её первой производной (первой разности) с заданным запасом в случае кратных корней характеристического уравнения.

Изучены показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости, аналогичные показателям Ляпунова и адаптированные к нелинейным системам дифференциальных уравнений. Перечислены самые разные -- как гарантированные, так и различные реализуемые -- соотношения между линейными, сферическими, радиальными и шаровыми разновидностями этих показателей, а также рассмотрены их взаимосвязи с аналогичными показателями системы первого приближения.

Рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущённой системы уравнений в частных производных. Ставится обратная задача, состоящая в определении неизвестного начального условия по дополнительной информации о решении начально-краевой задачи. Доказывается, что на основе использования разложения решения начально-краевой задачи по малому параметру $\varepsilon $ можно получить приближённые решения, аппроксимирующие решение обратной задачи с порядком $ O(\varepsilon) $ или $O(\varepsilon^2).$

Исследуются первая и вторая краевые задачи и задача сопряжения для комплексного потенциала двумерного фильтрационного течения в анизотропном и неоднородном (переменной проницаемости и толщины) пористом слое. Источники течения произвольные дискретные и могут располагаться в общем случае как на границах, так и вне границ. Границы моделируются произвольными гладкими (кусочно-гладкими) замкнутыми линиями, а источники течения -- сингулярностями (изолированными особыми точками) комплексного потенциала. Наличие системы источников на границах приводит к принципиально новому обобщению (усложнению) граничных условий, которые характеризуются сингулярными функциями с изолированными особыми точками. В случае анизотропного однородного (постоянной проницаемости и толщины) слоя и прямолинейных границ решения задач представлены в конечном виде. В общем случае, когда произвольная гладкая замкнутая кривая моделирует границу с расположенными на ней источниками, использован обобщённый интеграл типа Коши для комплексного потенциала течения. Это позволило вторую краевую задачу и задачу сопряжения редуцировать к граничным сингулярным интегральным уравнениям. Исследованные задачи -- математические модели двумерных фильтрационных процессов в слоистых пористых средах, представляющие интерес, например, для практики добычи флюидов (нефти, воды) из природных анизотропно-неоднородных пластов грунта.

Рассмотрена задача определения термомеханического состояния твэла в ядерном реакторе. Описан конечно-элементный алгоритм решения тепловой задачи совместно с задачей о механическом контакте, для выяснения основных особенностей и численного алгоритма решения которой исследована модельная одномерная задача. Построены главный член асимптотического разложения решения такой задачи и разностная схема для её решения, в том числе итерационные методы. Выполнен цикл тестовых расчётов, подтверждающих теоретические оценки. Сопоставление расчётов реальных задач с теоретическими предсказаниями показало, что алгоритм решения многомерной нелинейной задачи качественно соответствует поведению одномерных вычислений.

Решена задача параметрической идентификации динамических систем с прямоугольными и эллипсоидными областями неопределённости параметров для случая, когда экспериментальные данные заданы в виде интервалов. Состояние рассматриваемых динамических систем в каждый момент времени является параметрическим множеством. Построена целевая функция в пространстве областей неопределённости параметров, характеризующая степень отклонения параметрических множеств состояний от экспериментальных интервальных оценок. Для минимизации целевой функции разработан алгоритм подвижного окна, относящийся к градиентным методам. В его основе лежит алгоритм адаптивной интерполяции, позволяющий в рамках заданной области неопределённости параметров (окна) в явном виде получать параметрические множества состояний динамической системы. Продемонстрирована эффективность и работоспособность предлагаемого алгоритма.

Приведены примеры аналитических систем дифференциальных уравнений в чётномерных фазовых пространствах с изолированными положениями равновесия, которые допускают неаналитические первые интегралы. Эти интегралы положительно определены в окрестности равновесий, что доказывает их устойчивость (на всей оси времени). Однако такие системы дифференциальных уравнений вообще не допускают нетривиальных первых интегралов в виде формальных степенных рядов. В частности, из устойчивости по Ляпунову равновесий аналитических систем не вытекает их формальная устойчивость. В случае нечётной размерности фазового пространства все изолированные состояния равновесия, по-видимому, неустойчивы.